| Содержание |
Задача 1
Т X(t)
1 6,23
2 6,47
3 7,45
4 7,17
5 8,01
6 8,5
7 8,07
8 7,66
9 9,75
10 9,87
11 10,54
12 11
1) Графік тренду змінної х(t):
З графіку видно, що найбільше підходить лінійна однофакторна модель. Оцінюємо її параметри за допомогою МНК:
2) Для оцінювання параметрів та скористаємось методом 1МНК. Запишемо систему нормальних рівнянь:
Для знаходження та запишемо рівняння оцінок:
де - моменти першого порядку;
- моменти другого порядку.
Провівши необхідні розрахунки, отримуємо: x = 0,4107t + 5,7238
3) Побудова довірчого інтервалу для коефіцієнтів моделі здійснюється за формулою:
де, - деяка похибка при оцінці ;
- довірчий коефіцієнт при рівні імовірності та ступенях свободи. Знаходиться за таблицями - розподілу Ст’юдента.
Формула для розрахунку має вигляд:
Зони надійності параметрів при рівні значущості α = 0,05:
4) Оцінку лінійного коефіцієнту кореляції здійснимо за допомогою формули:
Коефіцієнт детермінації: R2 = 0,9453412 = 0,893669
5) Прогноз для наступних 3 місяців отримуємо підставляючи в нашу модель наступні значення t:
Задача 2
i С(і) D(i) S(i) L(і)
1 2 3 4 5
1 5,55 9,41 7,35 16,35
2 11,54 13,87 8,98 18,98
3 16,57 14,31 9,87 20,36
4 19,05 17,59 10,41 29,97
5 22,08 19,88 11,85 32,85
6 24,88 21,37 13,61 34,31
7 27,39 22,77 15,67 35,64
8 32,06 24,98 17,31 36,31
9 36,24 26,05 19,97 38,84
10 38,87 27,35 22,22 42,22
11 41,77 31,17 25,38 43,57
1) Оцінюємо параметри лінійної моделі за допомогою МНК:
2) Коефіцієнт детермінації:
R2 = 0,985446
3) Для перевірки наявності автокореляції залишків використаємо критерій Дарбіна-Уотсона:
Близькість критерію до 2 показує відсутність автокореляції між залишками.
4) Перевіримо наявність мультиколінеарності за допомогою алгоритму Феррара-Глобера:
Крок 1
Нормалізуємо змінні (Для цього скористаємося формулою: ):
D*(i) S*(I) L*(і)
3 4 5
-0,52307363 -0,38223 -0,49642
-0,31817111 -0,29842 -0,41172
-0,29795651 -0,25265 -0,36727
-0,14726586 -0,22489 -0,05777
-0,04205806 -0,15084 0,034988
0,026395923 -0,06035 0,08201
0,090715101 0,045576 0,124845
0,192247519 0,129902 0,146424
0,241405748 0,266676 0,227907
0,3011307 0,382369 0,336766
0,476630173 0,544852 0,380245
Крок 2
Знайдемо кореляційну матрицю:
Між факторами існує сильний попарний прямий зв’язок.
Крок 3
3.1) Детермінант матриці R: D = 0,0027
3.2) Критерій Х2 :
Знайдене значення порівняємо з табличним значенням , коли маємо ступенів свободи та при рівні значущості .
Оскільки , то в масиві пояснюючих змінних існує мультиколінеарність.
Крок 4
Знайти матрицю , яка є оберненою до матриці :
С = R-1 :
Крок 5
5.1) Обчислюємо критерії за формулою:
де - діагональний елемент матриці :
5.2) Обчислені критерії порівнюються з табличним значенням , коли є ступенів свободи та при рівні значущості .
У розглядуваному випадку , , . Це означає, що кожна з пояснюючих змінних мультиколінеарна з іншими.
5.3) Коефіцієнти детермінації для кожної змінної:
Крок 6
Визначимо частинні коефіцієнти кореляції .
Частинні коефіцієнти кореляції показують тісноту зв’язку між двома пояснюючими змінними за умови, що всі інші змінні не впливають на цей зв’язок і обчислюються за формулою:
Порівнявши часткові коефіцієнти кореляції з парними, можна помітити, що часткові коефіцієнти значно менші парних. Це говорить про те, що на основі парних коефіцієнтів кореляції не можна зробити висновок про наявність чи відсутність мультиколінеарності.
Крок 7
Визначимо критерії.
Ці критерії застосовуються для визначення мультиколінеарності двох пояснюючих змінних і обчислюються за формулою:
Обчислені критерії порівнюються з табличним значенням , коли маємо n-m=9 ступенів свободи та при рівні значущості .
Оскільки всі наші розраховані значення більші за теоретичне, то можна зробити висновок про те, що всі пари пояснюючих змінних є мультиколінеарними.
Задача 3
t Y(i) K(i) L(i)
1 65,34 4,33 7,75
2 54,57 5,55 8,98
3 78,52 7,87 9,85
4 82,36 8,29 10,97
5 79,44 9,21 11,98
6 90,78 10,97 13,61
7 85,99 11,81 14,57
8 76,56 10,53 13,31
9 82,35 11,14 15,35
1) Y(i) = aK(i)b1L(i) b2
Прологарифмуємо наші змінні: ln Y(i) = ln(a) + b1*lnK(i) + b2*lnL(i)
t ln Y(i) ln K(i) ln L(i)
1 4,179604 1,465568 2,047693
2 3,999484 1,713798 2,195
3 4,363353 2,063058 2,287471
4 4,4111 2,11505 2,395164
5 4,375002 2,22029 2,483239
6 4,508439 2,395164 2,610805
7 4,454231 2,468947 2,678965
8 4,338075 2,354228 2,588516
9 4,410978 2,410542 2,731115
2) Оцінюємо параметри лінійної моделі за допомогою МНК:
ln Y(i) = 4,0465 + 0,6917*lnK(i) - 0,4843*lnL(i)
Y(i) = 57,1984K(i)0,6917L(i)-0,4843
3) Коефіцієнт детермінації:
R2 = 0,7074
4) Для перевірки наявності автокореляції залишків використаємо критерій Дарбіна-Уотсона:
Оскільки критерій Дарбіна-Уотсона більше двох, то можна говорити про існування від’ємної або оберненої автокореляції.
Для прийняття рішення про присутність автокореляції залишків використаємо двохсторонній - тест для таких значень:
; ; ;
;
У нашому випадку
Цей результат вказує на те, що гіпотеза не може бути ні прийнятою ні відхиленою. Тому зробити висновок щодо наявності чи відсутності автокореляції залишків за - тестом неможливо.
Задача 4
t С(t) I(t) Y(t)
1 2 3 4
1 15,55 11,41 22,35
2 16,14 13,55 24,98
3 16,57 14,87 27,58
4 17,05 15,59 29,97
5 17,44 16,51 31,85
6 17,98 17,97 33,61
7 18,88 18,77 36,04
8 19,56 19,53 37,31
9 20,54 20,91 40,55
10 21,87 21,35 42,22
Підставимо значення Y(t) з другого рівняння моделі в перше, дістанемо:
C(t) = b1 + b2I(t) + ξ(t)
,
Знайдемо МНК-оцінки параметрів отриманої моделі:
і повернемось до параметрів початкової моделі:
|
