| Содержание |
Задача № 1
На базі статистичних даних (економічного показника Х за 12 місяців):
1) побудувати графік тренду змінної x(t), вибрати форму лінійної одно-факторної моделі
;
2) оцінити всі її параметри;
3) визначити зони надійності
параметрів регресії a0, a1 при рівні значущості α = 0,05.
4) оцінити коефіцієнти детермінації R2 і кореляції R;
5) оцінити прогноз для таких трьох місяців: x(13), x(14), x(15).
t x(t)
1 5,93
2 6,17
3 7,15
4 6,87
5 7,71
6 8,20
7 7,77
8 7,36
9 9,45
10 9,57
11 10,24
12 10,70
Розв’язання
1. Побудуємо графік лінії тренда на тлі кореляційного поля за допомо-гою програми Microsoft Excel:
2. Нехай x, x* – відповідно фактичні та розрахункові значення економі-чного показника Х за лінійною моделлю, u – залишки:
x(t) = a0 + a1t + u.
Матрицю параметрів A* знайдемо за матричною формулою методу най-менших квадратів
A* = (T’T)-1T’X
Тут позначено:
1 1
1 2
1 3
1 4
1 5
T= 1 6
1 7
1 8
1 9
1 10
1 11
1 12
5,93
6,17
7,15
6,87
7,71
X= 8,2
7,77
7,36
9,45
9,57
10,24
10,7
, T’ – транспонована матриця до матриці T.
В результаті обчислення за цією формулою знайдемо, що
, тобто ,
тобто лінійна однофакторна модель має вигляд
3. Знайдемо залишки для моделі, незміщену оцінку дисперсії залишків та коваріаційну матрицю моделі.
Розрахункова таблиця:
t x x* u u² x-xср (x-xср)²
1 5,93 5,8345 0,0955 0,0091 -2,1633 4,68001
2 6,17 6,2452 -0,0752 0,0057 -1,9233 3,69921
3 7,15 6,6559 0,4941 0,2441 -0,9433 0,88988
4 6,87 7,0666 -0,1966 0,0386 -1,2233 1,49654
5 7,71 7,4773 0,2327 0,0542 -0,3833 0,14694
6 8,2 7,888 0,3120 0,0974 0,10667 0,01138
7 7,77 8,2987 -0,5287 0,2795 -0,3233 0,10454
8 7,36 8,7094 -1,3494 1,8208 -0,7333 0,53778
9 9,45 9,1201 0,3299 0,1088 1,35667 1,84054
10 9,57 9,5308 0,0392 0,0015 1,47667 2,18054
11 10,24 9,9415 0,2985 0,0891 2,14667 4,60818
12 10,7 10,352 0,3478 0,121 2,60667 6,79471
Сума: 8,093 0 2,87 0 26,99
Незміщена оцінка дисперсії залишків:
.
Коваріаційна матриця:
.
Знайдемо стандартні похибки оцінок параметрів моделі:
Знайдемо табличне значння t-критерію при рівні значущості α = 0,05 і числі ступенів свободи n – m = 10: tα = 2,228. Тоді відповідні відхилення знайде-мо за формулою
Знайдемо тепер зони надійності :
– для параметра a0:
– для параметра a1:
4. Знайдемо незміщену оцінку загальної варіації:
Визначимо коефіцієнт детермінації з урахуванням числа ступенів сво-боди:
Коефіцієнт кореляції з урахуванням числа ступенів свободи рівний
5. Знайдемо точкові оцінки прогнозу для t = 13, 14, 15:
Задача № 2
На базі n статистичних даних певного регіону:
1) визначити параметри лінійної моделі залежності витрат на спожи-вання (С) від рівня доходів (D), збережень (S) і заробітної плати (L);
2) оцінити коефіцієнт детермінації;
3) перевірити наявність автокореляції залишків;
4) дослідити мультиколінеарність між факторами.
D S L C
9,11 7,05 16,05 5,25
13,57 8,68 18,68 11,24
14,01 9,57 20,06 16,27
17,29 10,11 29,67 18,75
19,58 11,55 31,55 21,78
21,07 13,31 34,01 Y= 24,58
22,47 15,37 34,34 27,09
24,68 17,01 36,01 31,76
25,75 19,67 38,54 35,94
27,05 21,92 41,92 38,57
30,87 25,08 43,27 41,47
Розв’язання
1. Нехай Y, Y* – відповідно фактичні та розрахункові значення еконо-мічного показника C за лінійною моделлю, X1 = D, X2 = S, X3 = L, u – залишки:
Y = a0 + a1X1 + a2X2 + a3X3 + u.
Матрицю параметрів A* знайдемо за матричною формулою методу най-менших квадратів
A* = (X’X)-1X’Y
де , X’ – транспонована матриця до матриці X – матриці коефіцієнтів фактичних значень змінних X1, X2, X3.
В результаті обчислення за цією формулою знайдемо, що
, тобто
Отже, лінійна однофакторна модель має вигляд
2. Випишемо розрахункову таблицю:
X1 X2 X3 Y Y* u u² Y-Yср (Y-Yср)²
9,11 7,05 16,05 5,25 6,5383 -1,2883 1,6598 -19,5409 381,847
13,57 8,68 18,68 11,24 12,296 -1,0561 1,1154 -13,5509 183,627
14,01 9,57 20,06 16,27 13,514 2,7561 7,5961 -8,5209 72,6059
17,29 10,11 29,67 18,75 18,75 -0,0005 2E-07 -6,0409 36,4926
19,58 11,55 31,55 21,78 22,172 -0,3915 0,1533 -3,0109 9,06557
21,07 13,31 34,01 24,58 25,126 -0,5457 0,2978 -0,2109 0,04448
22,47 15,37 34,34 27,09 27,787 -0,6969 0,4856 2,2991 5,28582
24,68 17,01 36,01 31,76 31,215 0,5453 0,2973 6,9691 48,5682
25,75 19,67 38,54 35,94 34,327 1,6126 2,6005 11,1491 124,302
27,05 21,92 41,92 38,57 37,566 1,0037 1,0075 13,7791 189,863
30,87 25,08 43,27 41,47 43,409 -1,9387 3,7584 16,6791 278,192
Сума: 0 18,97 0 1329,9
Знайдемо незміщену оцінка дисперсії залишків:
Знайдемо незміщену оцінку загальної варіації:
Визначимо коефіцієнт детермінації з урахуванням числа ступенів сво-боди:
Коефіцієнт кореляції з урахуванням числа ступенів свободи рівний
3. Дослідимо наявність автокореляції залишків за критерієм Дарбіна – Уотсона:
Знайдемо з таблиць верхнє та нижнє табличні значення критерію Дарбі-на-Уотсона при рівні значущості 0,95:
DWL = 0,82;
DWU = 1,75.
Оскільки DW > DWU , то можна прийняти гіпотезу про відсутність авто-кореляції залишків.
4. Дослідимо мультиколінеарність між факторами за алгоритмом Фар-рара – Глобера.
Знайдемо дисперсії для факторів Xi:
Знайдемо вектори нормалізованих факторних змінних за формулами
Таблиця нормалізованих факторних змінних X*:
X*1 X*2 X*3
-0,5486 -0,4009 -0,5170
-0,3337 -0,3130 -0,4277
-0,3125 -0,2650 -0,3809
-0,1545 -0,2359 -0,0547
-0,0441 -0,1582 0,0091
0,0277 -0,0633 0,0926
0,0951 0,0478 0,1038
0,2016 0,1362 0,1605
0,2532 0,2797 0,2463
0,3158 0,4010 0,3611
0,4999 0,5714 0,4069
Знайдемо кореляційну матрицю r = X*’X*:
1 0,9640 0,9780
r= 0,9640 1 0,9207
0,9780 0,9207 1
Визначимо критерій хі-квадрат:
Порівняємо це значення з табличним значенням критерію хі-квадрат при m(m-1)/2 = 6 ступенях свободи і рівні значущості 0,05: χ²табл = 12,5916. Оскільки χ² > χ²табл, то можна стверджувати, що в масиві змінних існує мульти-колінеарність.
Дослідимо мультиколінеарність між кожною парою змінних.
Визначимо матрицю С, обернену до кореляційної матриці r:
58,833 -24,55 -34,93
С= -24,55 16,807 8,5371
-34,93 8,5371 27,306
Обчислимо частинні коефіцієнти кореляції:
Обчислимо відповідні t-критерії:
Порівняємо ці значення з табличним значенням t-критерію при рівні значущості 0,05 і n – m = 7 ступенях свободи: tтабл = 2,3646.
Оскільки t12 > tтабл і t13 > tтабл, то можна зробити висновок, що змінна Х1 мультиколінеарна зі змінними Х2 та Х3, а між змінними Х2 та Х3 мультиколіне-арності немає.
Задача № 3
За статистичними показниками Y, K та L за n років:
1) проаналізувати класичну модель виробничої функції Кооба – Дугла-са, що описує залежність між продуктивністю праці y = Y/L і фон-доозброєністю x = K/L з урахуванням впливу технічного прогресу на виробництво в регіоні;
2) оцінити параметри нелінійної моделі;
3) оцінити коефіцієнт детермінації;
4) перевірити наявність автокореляції залишків.
i Y(i) K(i) L(i)
1 65,04 4,03 7,45
2 54,27 5,25 8,68
3 78,22 7,57 9,55
4 82,06 7,99 10,67
5 79,14 8,91 11,68
6 90,48 10,67 13,31
7 85,69 11,51 14,27
8 76,26 10,23 13,01
9 82,05 10,84 15,05
Розв’язання
З наведених в умові задачі даних знайдемо показники продуктивності праці y = Y/L та фондоозброєності x = K/L для кожного року:
i y(i) x(i)
1 8,7302 0,5409
2 6,2523 0,6048
3 8,1906 0,7927
4 7,6907 0,7488
5 6,7757 0,7628
6 6,7979 0,8017
7 6,0049 0,8066
8 5,8616 0,7863
9 5,4518 0,7203
Класична виробнича функція Кобба – Дугласа задається рівнянням
Для того, щоб знайти оцінки параметрів нелінійної моделі, перейдемо до лінійної моделі, прологарифмувавши обидві частини рівняння регресії:
.
Позначимо
Тоді функція регресії має вигляд
Нехай X – вектор пояснювальної змінної p, Y – вектор значень змінної f, XT – транспонована матриця до матриці X:
1 p f
1 -0,6144 2,1668
1 -0,5028 1,8330
1 -0,2323 2,1030
1 -0,2892 2,0400
1 -0,2707 1,9133
1 -0,2211 1,9166
1 -0,2149 1,7926
1 -0,2404 1,7684
1 -0,3281 1,6960
Вектор B статистичних оцінок параметрів регресії знайдемо за формулою:
B = (XTX)-1XTY ,
, ,
Якщо перейти до початкових змінних, то оцінка параметрів моделі α0, α1 і функція регресії дорівнюють:
Коефіцієнт детермінації обчислимо за формулою
Розрахуємо значення дисперсій залишків та залежної змінної на основі лінійної моделі:
i f f* u u² f-fср (f-fср)²
1 2,1668 2,0274 0,1394 0,0194 0,2524 0,0635
2 1,8330 1,9840 -0,1510 0,0228 -0,0815 0,0067
3 2,1030 1,8789 0,2241 0,0502 0,1886 0,0355
4 2,0400 1,9010 0,1390 0,0193 0,1256 0,0158
5 1,9133 1,8938 0,0196 0,0004 -0,0011 0,0000
6 1,9166 1,8745 0,0421 0,0018 0,0022 0,0000
7 1,7926 1,8721 -0,0795 0,0063 -0,1218 0,0148
8 1,7684 1,8820 -0,1136 0,0129 -0,1460 0,0213
9 1,6960 1,9161 -0,2201 0,0485 -0,2185 0,0476
Середнє 1,9144 1,9144 0 0,0202 0 0,0228
Сума 17,2296 17,2296 0 0,1816 0 0,2056
Знайдемо коефіцієнт детермінації:
Дослідимо наявність автокореляції за критерієм Дарбіна – Уотсона.
i f f* u u² ui-ui-1 (ui-ui-1)²
1 2,1668 2,0274 0,1394 0,0194 0,2524 0,0637
2 1,8330 1,9840 -0,1510 0,0228 -0,0815 0,0066
3 2,1030 1,8789 0,2241 0,0502 0,1886 0,0356
4 2,0400 1,9010 0,1390 0,0193 0,1256 0,0158
5 1,9133 1,8938 0,0196 0,0004 -0,0011 0,0000
6 1,9166 1,8745 0,0421 0,0018 0,0022 0,0000
7 1,7926 1,8721 -0,0795 0,0063 -0,1218 0,0148
8 1,7684 1,8820 -0,1136 0,0129 -0,1460 0,0213
9 1,6960 1,9161 -0,2201 0,0485 -0,2185 0,0477
Сума 17,2296 17,2296 0,0000 0,1816 0,0000 0,2056
Обчислимо критерій Дарбіна-Уотсона:
Знайдемо з таблиць верхнє та нижнє табличні значення критерію Дарбі-на-Уотсона при рівні значущості 0,95:
DWL = 1,08;
DWU = 1,36.
Оскільки DW > DWU , то можна прийняти гіпотезу про відсутність автокореляції залишків.
Задача № 4
На основі статистики за n років визначити параметри найпростішої му-льтиплікативної моделі споживання Кейнса для певного регіону:
де C(t) – споживання, Y(t) – національний дохід, u(t) – стохастичне відхилення, похибка, I(t) – інвестиції.
t C(t) Y(t) I(t)
1 15,25 11,11 22,05
2 15,84 13,25 24,68
3 16,27 14,57 27,28
4 16,75 15,29 29,67
5 17,14 16,21 31,55
6 17,68 17,67 33,31
7 18,58 18,47 35,74
8 19,26 19,23 37,01
9 20,24 20,61 40,25
10 21,57 21,05 41,92
Розв’язання
Знайдемо параметри a0, a1 моделі за методом найменших квадратів.
Нехай Y – вектор пояснювальної змінної, C – вектор залежної змінної, YT – транспонована матриця до матриці Y:
1 Y C
1 11,11 15,25
1 13,25 15,84
1 14,57 16,27
1 15,29 16,75
1 16,21 17,14
1 17,67 17,68
1 18,47 18,58
1 19,23 19,26
1 20,61 20,24
1 21,05 21,57
Вектор B статистичних оцінок параметрів регресії знайдемо за формулою:
A = (YTY)-1YTC.
Звідси знайдемо оцінки параметрів моделі:
, ,
Отже, рівняння мультиплікативної моделі споживання Кейнса для дано-го регіону мають вигляд
|
